Théorie de l'élément de pale (BEM) : hélices de propulsion et de traction

La théorie de l'élément de pale (BEM) d'une hélice de propulsion complète la théorie de Froude, qui donne la poussée globale d'une hélice, mais ignore la forme de la pale : elle calcule les efforts sur un petit tronçon de pale, les relie aux vitesses induites, puis somme les tronçons pour obtenir la poussée et le couple absorbé de l'hélice entière. Cette page pose les équations de l'élément de pale pour une hélice propulsive, couplées au bilan de quantité de mouvement.

Au sommaire :

• Principe du calcul par élément de pale
• Poussée et couple d'un élément de pale
• Couplage avec la quantité de mouvement

1 : Théorie de l'élément de pale, principe du calcul d'une hélice

Le théorème de quantité de mouvement de Froude renseigne sur la force de propulsion (ou de traction) d'une hélice, mais pas sur son dessin. Cette méthode globale ignore les caractéristiques géométriques et aérodynamiques de la section de pale (le profil). En revanche, nous pouvons prendre en compte les forces qui agissent sur un élément de pale, puis les intégrer sur le rayon de l'hélice. C'est la théorie de l'élément de pale.

Elle rend visibles les composantes de la vitesse induite introduites dans la méthode de Froude, et établit des relations géométriques entre les vecteurs vitesse qui abordent l'élément de pale. Elle donne le couple absorbé par un élément et la poussée qu'il génère. Comme elle n'étudie qu'un élément à la fois, nous sommons les éléments pour obtenir la poussée totale et le couple absorbé de l'hélice.

Figure 1 : un rotor qui tourne et avance. Un anneau de largeur dr, au rayon r, découpe un élément dans chaque pale.

La figure 1 montre un rotor qui tourne à la vitesse angulaire Ω, en avançant à la vitesse V dans le fluide. La figure 2 représente la coupe d'un élément de pale de largeur dr, situé à la distance r de l'axe du rotor.

Figure 2 : vitesses, angles et efforts sur un profil d'hélice propulsive.

La figure montre qu'un élément de pale ne voit pas seulement la résultante de la vitesse d'avance et de la vitesse de rotation (les deux vitesses se composent vectoriellement : Vr = √(V² + (Ωr)²)). Il voit une vitesse d'entrée Ve, modifiée par les vitesses induites tangentielle wt et axiale wa. Une somme de forces sur le plan de rotation et sur l'axe du rotor permet alors d'établir les équations de poussée et de couple absorbé par un élément de largeur dr.

2 : Efforts sur un élément de pale, poussée et couple

La poussée dT et le couple dQ de l'élément s'écrivent :

Équations 1 et 2.

Dans ces équations, dL et dD sont les efforts de portance et de traînée sur le profil. Ils se calculent avec le coefficient de portance (Cz, Cl en anglais), le coefficient de traînée (Cx, Cd en anglais) et la corde c du profil au rayon local r, pour un anneau de largeur dr (écart de rayon entre deux éléments annulaires) :

Équations 3 et 4.

L'équation de poussée de l'élément sert à évaluer la poussée développée par un anneau circulaire de rayon r et de largeur dr, qui porte B pales. En combinant les équations 3 et 4 avec l'équation 1, la poussée de l'anneau s'écrit :

3 : Couplage avec la quantité de mouvement et vitesses induites

Le bilan de quantité de mouvement, avec l'accélération w_a donnée au fluide dans le disque, fournit une seconde expression de la poussée de l'anneau :

En égalant les poussées de l'anneau données par ces deux expressions, nous obtenons :

Équations 6 et 7.

avec :

L'équation 7 est la première d'un système de deux équations à deux inconnues, wa et wt, qui sert à résoudre les vitesses induites par la pale du rotor. L'équation de couple fournit la seconde. Le système se résout par itérations, élément par élément, comme pour les hélices de captage : nous partons d'une estimation de wa et wt, calculons Ve et l'angle φ + αi, lisons Cz et Cx du profil pour l'incidence correspondante, puis recalculons wa et wt jusqu'à ce qu'ils ne varient plus. La poussée et le couple de l'élément s'en déduisent, et leur somme sur tous les éléments et toutes les pales donne ceux de l'hélice.

Cette page est un extrait du mémoire de M. Joncas.

Pour aller plus loin, nous pouvons revoir la théorie de Froude des hélices de traction, voir la version complète avec corrections pour les hélices de captage, ou consulter les références bibliographiques.